Ecuaciones bicuadradas

 

Una ecuación bicuadrada es una ecuación que está dentro del grupo de las de cuarto grado -también denominada cuárticas-, es decir:

px^4+qx^3+rx^2+sx+t=0,

en donde los coeficientes correspondientes a la tercera y primera potencia son nulos (q=0; s=0) por lo que tiene la forma general siguiente:

px^4+rx^2+t=0.

Por familiaridad usaremos como coeficientes a «a», «b» y «c», así que la ecuación a resolver es:

ax^4+bx^2+c=0.

 

Cómo se resuelven

 

Este tipo de ecuaciones se resuelven fácilmente haciendo un cambio de variable, por ejemplo, x^2 \equiv u, obteniéndose la conocida ecuación de segundo grado au^2+bu+c=0, en donde las soluciones, en este caso vienen dadas por:

 

x_{1,2} = \pm\sqrt{\dfrac {-b + \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}}

x_{3,4} = \pm\sqrt{\dfrac {-b - \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}}

 

Es decir, el esquema de resolución va a ser el siguiente:

  1. Cambio de variable para transformar la ecuación de cuarto grado en ecuación de segundo grado.
  2. Resolución de la ecuación de segundo grado.
  3. Deshacer el cambio de variable en ambas soluciones.
  4. Resolver las dos ecuaciones de segundo grado, de donde obtendremos las cuatro soluciones buscadas.

 

Por supuesto que hay otros métodos de resolución, además de aplicar la fórmula de las ecuaciones cuadráticas, por ejemplo, factorizando el miembro en donde están todos los elementos no nulos de la ecuación (si es que la tenemos escrita en su forma general, claro),  completando el cuadrado y también haciendo una discusión gráfica.

 

Ecuaciones bicuadradas resueltas

 

Ponemos a tu disposición una colección de este tipo de ecuaciones resueltas con detalle y de dificultad creciente para que puedas llegar sin muchas complicaciones a comprender cómo se ha de proceder.

Vas a encontrarte con casos como estos que a continuación de describo:

 

  • Ecuación bicuadrada completa.
  • Incompleta pura.
  • Incompleta mixta.
  • Método gráfico.

Resuelve: x^4+x^2-20=0


Solución

Cambio de variable:

Hacemos el cambio x^2 \equiv u, por lo que nuestra ecuación podemos escribirla como u^2+u-20=0.

Resolución de la ecuación de 2º grado:

Aplicando la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado:

u = \dfrac {-2 \pm \sqrt {(-2)^2 - 4 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1}

u = \dfrac {-1 \pm {9}}{2}

u_1=4; u_2=-5

Deshacer el cambio de variable:

Tenemos que hallar los valores de las x, volviendo para ello a tener en cuenta que x^2 \equiv u

x_1^2=4; x_2^2=-5

Resolución de las ecuaciones de segundo grado:

La solución de cada una de estas ecuaciones nos darán las cuatro incógnitas buscadas. Su resolución es inmediata:

x_{1,1}=\sqrt 4=2; x_{1,2}=-\sqrt 4=-2

x_{2,1}=\sqrt {-5}=\emptyset; x_{2,2}=-\sqrt {-5}=\emptyset

Conclusión:

x_{1,1}=2; x_{1,2}=-2

 

Interpretación geométrica de las soluciones

ecuacion bicuadrada con dos soluciones reales

Resolver: x^4-29x^2+100=0


Solución

Vamos a hacer el cambio x^2 \equiv u. Entonces nuestra expresión quedará como sigue:

u^2-29u+100=0.

Aplicamos la fórmula de las ecuaciones de segundo grado para obtener las dos soluciones para u, escribiendo:

u = \dfrac {-(-29) \pm \sqrt {(-29)^2 - 4 \cdot 100}}{2 \cdot 1}

u = \dfrac {29 \pm \sqrt {441}}{2}

u = \dfrac {29 \pm 21}{2}

u_1=25; u_2=4

Deshaciendo el cambio llegamos a las soluciones finales:

x_1^2=25; x_2^2=4, lo que implica que:

x_1=\pm \sqrt {5}; x_2=\pm \sqrt {4}, esto es:

x_{1,1}=5; x_{1,2}=-5; x_{2,1}=2; x_{2,2}=-2

Representación gráfica de la función asociada a la ecuación:

imagen de ecuación bicuadrada resuelta con cuatro soluciones reales

 

Resuelve: x^4-3x^2-10=0


Solución

Para una ecuación del tipo ax^4+bx^2+c=0 las cuatro soluciones vienen dadas por las siguientes expresiones:

x_{1,2} = \pm\sqrt{\dfrac {-b + \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}}

x_{3,4} = \pm\sqrt{\dfrac {-b - \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}}

En nuestro caso, los valores de los coeficientes de la ecuación son:

a=1; b=-3; c=-10

Sustituyendo estos valores en las expresiones que nos dan directamente la solución, tenemos:

x_{1,2} = \pm\sqrt{\dfrac {-(-3) + \sqrt {(-3)^2 - 4\cdot(-10)}}{2}}

x_{3,4} = \pm\sqrt{\dfrac {-(-3) - \sqrt {(-3)^2 - 4\cdot(-10)}}{2}}

Operando:

x_{1,2} = \pm\sqrt{\dfrac {3+ \sqrt {49}}{2}}=\pm\sqrt{\dfrac {3+7}{2}}=\pm\sqrt{5}

x_{3,4} = \pm\sqrt{\dfrac {3- \sqrt {49}}{2}}=\pm\sqrt{\dfrac {3-7}{2}}=\pm\sqrt{-2}

Soluciones:

x_1=\sqrt{5}; x_2=-\sqrt{5}

Para x_3 y x_4 no hay soluciones dentro de los números reales.

Representación gráfica de las soluciones:

imagen ecuacion bicuadrada resuelta

 

 

Resuelve: x^4-16=0


Solución

Hacemos el cambio de variable:

x^2 \equiv u implica que u^2-16=0.

Resolvemos la ecuación de 2º grado:

Esta ecuación cuadrática tiene una solución inmediata:

u^2-16=0 \Longrightarrow u=\pm \sqrt {16}

Es decir:

u_1=4;u_2=-4

Deshacemos el cambio de variable:

Aplicamos x^2 \equiv u

x_1^2=4; x_2^2=-4

Resolvemos ambas ecuaciones de segundo grado:

Hallar la solución de las dos ecuaciones es muy fácil

x_1=\pm\sqrt4; x_2=\pm\sqrt{-4} en donde \sqrt{-4}=\emptyset

Podemos escribir entonces que:

x_{1,1}=\sqrt4=2; x_{1,2}=-\sqrt4=-2

Conclusión:

x_{1,1}=2; x_{1,2}=-2;x_{1,2}=x_{2,2}=\emptyset

 

Resuelve: x^4-5x^2+4=0


Solución

Introducimos un cambio de variable:

Se hace el cambio x^2 \equiv u. Con esto la ecuación en las nuevas variables se escribe así: u^2-5u+4=0.

Buscamos las soluciones de la ecuación de grado dos:

u = \dfrac {-(-5) \pm \sqrt {(-5)^2 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}

u = \dfrac {5 \pm {3}}{2}

u_1=4; u_2=1

Invertimos el cambio de variable:

Hay que hallar x, por lo que debemos de volver a usar x^2 \equiv u, obteniendo estas dos identidades:

x_1^2=4; x_2^2=1

Hallamos el valor de ambas ecuaciones de segundo grado:

La obtención de la solución se hace de forma directa:

x_{1,1}=\sqrt 4=2; x_{1,2}=-\sqrt 4=-2

x_{2,1}=\sqrt {1}=1; x_{2,2}=-\sqrt {1}=-1

Conclusión:

x_{1,1}=2; x_{1,2}=-2; x_{2,1}=1; x_{2,2}=-1

 

Vídeos de ecuaciones bicuadradas resueltas

 

Mira qué vídeos tan interesantes de ecuaciones bicuadradas en donde puedes ver cómo se resuelven paso a paso las ecuaciones de este tipo, desde las más sencillas hasta las más complicadas.

Imágenes de ecuaciones bicuadradas

 

A continuación tenemos para ti una recopilación de teoría sobre ecuaciones bicuadradas, de ejercicios propuestos con solución y también resueltos paso a paso, todos facimente imprimibles.