Ecuación de la circunferencia

 

ecuacion circunferencia

 

Definición.– Esta ecuación es la que satisface todos los puntos equidistantes a un punto, que será el centro de dicha circunferencia. Tal ecuación puede ser expresada de varias formas como son usando coordenadas cartesianas, polares, paramétricas y vectoriales.

 

Deducción de la ecuación de la circunferencia

 

Sea O(a,b) el origen de la circunferencia y P(x,y) un punto cualquier de ella.

La distancia entre O y P estará dada por la fórmula de la distancia d(O,P)=r, es decir:

\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}=r, o lo que es equivalente:

(x - a)^2 + (y - b)^2=r^2

 

Ecuación con centro en el origen

 

Si la circunferencia posee el centro en el origen de coordenadas, es decir, en (0,0) entonces la ecuación de la circunferencia es:

x^2+y^2=r^2

Esta ecuación tiene nombre propio: ecuación de la circunferenica goniométrica.

 

Ecuación general de una circunferencia en coordenadas cartesianas

 

Desarrollando (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 es fácil llegar a:

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0, en donde

a=-\dfrac{D}{2}; b=-\dfrac{E}{2}; r= \sqrt {a^2+b^2-F}

 

Ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos

 

Dados tres puntos pertenecientes a una circunferencia, A(2,1), B(0,5) y C(-1,2), halla la ecuación de la circunferencia que pasa por ellos.

Solución:

Vamos a tener en cuenta la ecuación general de una circunferencia la cual viene dada por la expresión x^2+y^2+Dx+Ey+F=0. Cada uno de los tres puntos tiene que satisfacer esta ecuación. Ello quiere decir que se ha de cumplir que:

(A)  2^2+1^2+2D+1E+F=0

(B)  0^2+5^2+0D+5E+F=0

(C)  (-1)^2+2^2-1D+2E+F=0

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos los valores de D, E y F que son: D=-2; E=-6; F=-5

Entonces, finalmente, sustituyendo estos valores en la ecuación general de la circunferencia obtenemos la expresión buscada:

x^2+y^2-2x-6y+5=0

 

Ejercicios resueltos de ecuaciones de circunferencias

 

A continuación te proponemos una colección de ejercicios sobre el tema resueltos con todo detalle para que a través de su estudio seas capaz de entender de forma práctica todo sobre este tipo de ecuaciones. Todos los conocimientos de geometría analítica necesarios muchas veces para hacer estos problemas te los facilitamos.

Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (1,-1) y un radio r=3


Solución

Simplemente tenemos que sustituir los datos dados en (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Como a=1; b=-1 tenemos que:

(x-1)^2+(y-(-1))^2=3^2

(x-1)^2+(y+1)^2=9

La ecuación general será:

x^2-2x+1+y^2+2y+1=9

x^2+y^2-2x+2y-7=0

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (0,0) y el radio r= \sqrt {13}?


Solución

En (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 insertamos los valores del enunciado: x=0; y=0; r= \sqrt {13}. Entonces:

(x-0)^2+(y-0)^2=\sqrt {13}^2, o lo que es lo mismo:

x^2+y^2=13

Encuentra el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es x^2+y^2=16


Solución

La ecuación de la circunferencia para un sistema de referencia cartesiano es (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, en donde (a,b) son las coordenadas del centro del círculo y r^2=16 la expresión para el radio. La ecuación con todos sus términos será:

(x-0)^2+(y-0)^2=4^2

Tras todos estos razonamienteos podemos entonces afirmar que el centro es (0,0) y el radio r=4

Encuentra el radio y el centro de una circunferencia conocida su ecuación x^2+y^2+2x-6y+7=0


Solución

La fórmula general de la circunferencia x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 se relaciona con las coordenadas del origen O(a,b) y el radio a través de las siguientes fórmulas: a=-\dfrac{D}{2}; b=-\dfrac{E}{2}; r=\sqrt{a^2 + b^2-F}

Entonces:

a=-\dfrac{D}{2}=-\dfrac{2}{2}=-1

b=-\dfrac{(-6)}{2}=3,

esto es: O(-1,3)

En cuanto al radio: r=\sqrt{a^2 + b^2-F}=\sqrt{(-1)^2 +3^2-7}=\sqrt{3}.

Encuentra la ecuación de una circunferencia para la que uno de sus diámetros tiene como extremos P(-1,3) y Q(7,-5)


Solución

Primero calculamos el punto medio del segmento determinado por ambos puntos. El punto medio será el centro de la circunferencia, que vamos a denotar como O:

O\left(\dfrac{P_x+P_y}{2},\dfrac{Q_x+Q_y}{2}\right)

Sustituyendo los extremos en la expresión del punto medio obtenemos lo siguiente:

O\left(\dfrac{-1+7}{2},\dfrac{3-5}{2}\right)=O\left(\dfrac{6}{2},\dfrac{-2}{2}\right)=O(3,-1)

El radio, r, será la distancia entre el origen y un punto cualquiera de la circunferencia:

r=d(O,P)=\sqrt{(P_x-Ox)^2+(P_y-O_y)^2}=

=\sqrt{(-1-3)^2+(3+1)^2}=\sqrt{32}

Ahora ya es muy fácil obtener la ecuacuión buscada mediante la fórmula (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Escribiendo en ella las coordenadas del centro y el valor del radio:

(x-3)^2+(y+1)^2=32

Halla la ecuación de una circunferencia de centro C(2,-5) y que es tangente al eje X


Solución

Para escribir esa ecuación necesitamos conocer tanto el centro de la circunferencia como el radio. Haciendo un pequeño esquema, deducimos fácilmente que el radio, r, es la distancia entre el punto de tangencia B y el origen A:

ecuacion circunferencia conocido el centro y paralela al eje x

d(A,B)=\sqrt{(2-2)^2+(0+5)^2}=5 \leftrightarrow r=5

Sutituyendo todos los datos en la expresión de la circunferencia:

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 obtenemos ecuación:

(x-2)^2+(y+5)^2=5^2 \leftrightarrow (x-2)^2+(y+5)^2=25

Vídeos sobre las ecuaciones de la circunferencia

 

Aquí te dejo una colección de ejercicios relacionados con las circunferencias tales como obtener la ecuación de la circunferencia en sus diversas formas además de ser capaz de llegar a escribirla a partir de ciertos requisitos (conociendo el origen y el radio, el origen y un punto de ella, tres puntos y otros casos)

Ecuación de la circunferencia de centro no en el origen y conociendo el radio

 

Caso en el que nos dan un punto en el plano cartesiano que no coincide con el centro. También disponemos del radio. Expresamos la ec. de la circunferencia de dos formas distintas: ecuación ordinaria o estándar y ecuación general.

 

Ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos

 

Dados tres puntos, tenemos que hallar la ecuación de una circunferencia. Hay varias formas de resolver el ejercicio. Aquí lo hacemos usando la ecuación general de una circunferencia. La única dificultad es resolver un sistema de ecuaciones de tres incógnitas y tres ecuaciones.