Ecuaciones con valor absoluto

 

Una ecuación con valor valor absoluto (o módulo) es aquella en la que uno de sus elementos únicamente puede tener valor positivo. Ejemplos de este tipo de ecuaciones pueden ser los siguientes:

 

Ejemplo 1

|x|-3x-2=1

Ejemplo 2

|3x+2|-2=\sqrt{x-1}

Ejemplo 3

\left |\dfrac {x-1}{x+1}\right|=x-2

 

 

Dado un número cualquiera a, el valor absoluto de este número se representa así:

|a|

El valor absoluto o módulo del número es la parte positiva de tal número. Por ejemplo, el módulo de 4 es 4. El módulo de -4 es igualmente 4. Con la notación apropiada podemos escribir esto mismo del siguiente modo:

 

|4|=4

|-4|=4

 

Para un número cualquiera x su valor absoluto dado |x| puede reescribirse de una forma más sofisticada como sigue:

 

|x|=\begin{cases} x&si & x \geq 0 \\-x &si& x<0\end{cases}

 

Ecuaciones de valor absoluto resueltas

 

Te proponemos el estudio de la siguiente colección de ecuaciones con valores absolutos resueltas de forma detallada y con dificultad gradual para que al final puedas sentirte con confianza suficiente para resolver con seguridad cualquier tipo que se te pueda presentar

Ecuaciones sencillas

Para empezar a practicar, vamos con casos fáciles en donde sólo hay que poner la atención en el concepto de valor absoluto. Fíjate que en cada ecuación buscamos aislar en un miembro al módulo y después convertimos la igualdad en dos nuevas igualdades equivalentes.

1-. Resuelve: |x|=3


Solución

|x|=3 \Leftrightarrow \begin{cases} x=3\\ x=-3 \end{cases}

Es decir, las soluciones están dadas por el siguiente conjunto de números:

S=\lbrace3,-3\rbrace

2-. Resuelve |x-3|=1


Solución

La ecuación dada se puede reescribir en forma de dos ecuaciones:

|x-3|=1 \Leftrightarrow \begin{cases} x-3=1 \\x-3=-1\end{cases}  \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \begin{cases} x=4 \\x=2\end{cases}

El conjunto de soluciones está dado entonces por:

{S=\lbrace 4,2 \rbrace}

 

 

3-. Resuelve x+|x-2|=3


Solución

Despejamos en un miembro los elementos que están bajo el valor absoluto:

x+|x-2|=3 \Leftrightarrow |x-2|=3-x

Ahora esta ecuación la escribimos como dos ecuaciones y operamos hasta obtener la solución de cada una de ellas:

|x-2|=3-x \Leftrightarrow \begin{cases} x-2=3-x \\x-2=-(3-x)\end{cases}  \Leftrightarrow  \begin{cases} 2x=5 \\-2=-3\end{cases}   \Leftrightarrow

\Leftrightarrow  x=\dfrac{5}{2} 

Conclusión:

S=\left\lbrace\dfrac{5}{2}\right\rbrace

4-. Resuelve: 2\cdot |x-1|=4-x


Solución

Los términos bajo el valor absoluto se dejan en un miembro y los demás en otro. La ecuación inicial se reescribe como dos ecuaciones lineales y se despejará x:

2 \cdot |x-1|=4-x \Leftrightarrow

\Leftrightarrow|x-1|=\dfrac{4-x}{2}  \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \begin{cases} x-1=\dfrac{4-x}{2} \\&\\x-1=-\dfrac{4-x}{2}\end{cases} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \begin{cases} 2x+x=4+1\\2x-x=-4+2\end{cases} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{5}{3}\\x=-2\end{cases} \Leftrightarrow

S=\lbrace-2, \dfrac {5}{3}\rbrace

Ecuaciones de valor absoluto con fracciones

Un poco más avanzada es la situación en la que manejamos fracciones con valores absolutos. Te proponemos las siguientes tres ecuaciones con fracciones en donde existe la función módulo.

4-. Resuelve: \left |\dfrac{x-1}{x+1}\right|=2


Solución

En general siempre hay que dejar en un miembro el término del valor absoluto y después resolver las dos ecuaciones lineales de una incógnita que resultan de la ecuación de este tipo de problemas. En nuestro caso ya está todo preparado para reescribir la ecuación de valor absoluto:

\left |\dfrac{x-1}{x+1}\right|=2 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{x-1}{x+1}=-2 \\&\\ \dfrac{x-1}{x+1}=2\end{cases} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow  \begin{cases}x-1=-2 \cdot (x+1) \\ x-1=2 \cdot (x+1)\end{cases} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \begin{cases}x-1=-2x-2 \\ x-1=2x+2 \end{cases} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow  \begin{cases}x=-\dfrac{1}{3} \\ x=1\end{cases}

Podemos concluir diciendo que la solución es el conjunto de los siguientes dos valores de x:

S=\lbrace-\dfrac{1}{3} ,1\rbrace

 

Ecuaciones valor absoluto en ambos lados

En este caso aplicamos la definición de valor absoluto cada vez que aparezca, determinaremos los puntos en los que estará dividida la recta real y estudiaremos las soluciones para cada intervalo.

Vídeos de ecuaciones con valor absoluto resueltas paso a paso

 

Tienes a continuación una colección de ejercicios de ecuaciones en donde en todas ellas aparecen valores absolutos. Espero que te sirva de ayuda.