Ecuaciones de la recta

 

La ecuación de una recta es la expresión matemática capaz de darnos de forma analítica los infinitos puntos que forman dicha recta. Puede ser expresada de varias formas, todas ellas equivalentes. Vamos a ver las ecuaciones paramétricas, vectoriales, implícitas, explícitas y continua de una recta a través del estudio de muchos ejercicios resueltos, que es la mejor forma de empezar el estudio de este tema.

 

Ecuación vectorial de la recta

 

Cuando conocemos un punto de la recta y su vector director, es inmediato escribir de forma analítica la recta en su forma vectorial:

\vec{r}=\vec{P}+λ \vec{v} \longrightarrow (x,y)=(a,b)+λ(v_1,v_2)

Ejemplo:

Escribe la ecuación de la recta de vector director \vec {v}=(3,-1) y pasa por el punto (-2,5)

Solución

Es inmediato escribir la ecuación vectorial:

\vec{r}=\vec{P}+λ \vec{v} \longrightarrow (x,y)=(-2,5)+λ(3,-1)

 

Ecuaciones paramétricas de la recta

 

A partir de la expresión vectorial se escriben la forma paramétrica de una recta.

\begin{cases} x=a+λv_1\\ y=b+λv_2 \end{cases}

Ejercicio

Escribe las ecuaciones paramétricas de la ecuación anterior. (x,y)=(-2,5)+λ(3,-1)

Solucion

La solución es inmediata:

\begin{cases} x=-2+3λ\\ y=5-λ \end{cases}

 

Ecuación continua de la recta

 

Esta ecuación está dada por la expresión \dfrac {x-a}{v_1}= \dfrac{y-b}{v_2}. A partir de un punto y el vector de la recta es inmediato escribir esta ecuación.

Ejemplo

El vector director de una recta es \vec{v}=(-5,3) y pasa por el punto (2,-1). Escribe su ecuación en forma continua.

Solución

Únicamente hay que sustituir los datos en la fórmula \dfrac {x-a}{v_1}= \dfrac{y-b}{v_2}. Entonces:

\dfrac {x-2}{-5}= \dfrac{y-(-1)}{3}, o lo que es lo mismo:

\dfrac {x-2}{-5}= \dfrac{y+1}{3}

 

Ecuación punto pendiente de la recta

 

Esta forma de escribir la ecuación de la linea recta se hace conociendo un punto de la recta (a,b) y la pendiente de la recta m : y-b=m(x-a)

Pendiente de la recta

La pendiente de una recta es un concepto importante. Está dada por:

m=tg(θ)=\dfrac {v_2}{v_1}=\dfrac {b_2-b_1}{a_2-a_1}

 

Ecuación general de la recta

 

Esta ecuación viene dada por Ax+By+C=0, en donde A y B se relacionan con la pendiente y un vector director de la recta del siguiente modo:

m= - \dfrac {A}{B} y \vec {v}=(-B,A)

 

Ecuación explícita de la recta

 

Es la ecuación en donde aparece la y despejada: y=mx+b

 

Ecuación canónica de la recta

 

Es la que tiene la forma: \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1

 

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

 

Sean los puntos (a_1,b_1) y (a_2,b_2). La ecuación que une estos dos puntos se puede escribir así: \dfrac{x-a_1}{a_2-a_1}=\dfrac{y-b_1}{b_2-b_1}.

 

Ejercicios resueltos

 

Hemos prepado una completa colección de ejercicios de ecuaciones de la recta resueltos de forma detallada y abarcando todos los aspectos de este tema. Pensamos que a traves del estudio de estas ecuaciones y su entendimiento puedes ser capaz de enfrentarte a la solución de tareas similares con garantías de éxito.

 

 

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,-4)(-2,3)


La ecuación de una recta dados dos puntos de ella (a_1,b_1) y (a_2,b_2) está dada por la expresión \dfrac{x-a_1}{a_2-a_1}=\dfrac{y-b_1}{b_2-b_1}.

Simplemente sustituyendo los datos dados en ella llegamos al resultado pedido:

\dfrac{x-1}{-2-(-1)}=\dfrac{y-(-4)}{3-(-4)}

\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+4}{7}

 

Dada la recta R expresada en su forma vectorial, (x,y)=(1,-3)+λ(-1,7), deduce sus ecuaciones paramétricas


La ecuación vectorial de una recta (x,y)=(a,b)+λ(v_1,v_2) puede ser expresada fácilmente en ecuaciones paramétricas:

\begin{cases} x=a+λv_1\\ y=b+λv_2 \end{cases}

En nuestro enunciado tenemos el punto de coordenadas a=1; b=-3 y el vector de coordenadas v_1=-1; v_2=7. Sustituyendo simplemente los datos en las expresiones paramétricas llegamos a nuestro resultado:

\begin{cases} x=1-1λ\\ y=3+7λ \end{cases}

 

Vídeos de ejercicios de rectas resueltos

 

Aquí te dejo una pequeña colección de vídeos en donde resuelvo los problemas más típicos de rectas que suelen aparecer en secundaria y bachillerato.

Ecuación de una recta conociendo pendiente y punto

 

Si conocemos la pendiente que tiene una recta y un punto por el que pasa, ya lo tenemos todo para poder escribir su ecuación. Ejercicio práctico.

Hallar el punto de intersección de dos rectas que se cortan

 

Para saber en qué punto se cortan dos rectas un buen camino es hallar las soluciones del sistema de ecuaciones que ambas rectas forman.

Forma punto pendiente de una recta

 

Hago un análisis de la ecuación de la recta en su forma PUNTO-PENDIENTE. También desarrollo un par de ejemplos de cómo escribir este tipo de ecuaciones de la recta.

Representación gráfica de funciones lineales afines. La línea recta

 

Concepto de función lineal afín y ejercicio práctico de cómo representar sobre el plano cartesiano este tipo de lineas rectas. Lo más importante: con dos puntos basta.

Ecuación de recta que pasa por tres puntos

 

Conociendo las coordenadas de dos puntos, queremos hallar las coordenadas de un tercer punto que desconocemos. Se usa la ecuación de la recta.

Ecuación de recta que pasa por un punto y es perpendicular a otra

 

Cómo se halla la ecuación de una recta perpendicular a otra dada y que además pasa por cierto punto que es indicado. Eso es lo que resuelvo en este vídeo.

Ecuación de recta paralela a otra y que pasa por un punto

 

En este ejercicio hallo la ecuación de una recta que ha de cumplir estos dos requisitos: ser paralela a otra recta y pasar por un punto dado.