Ecuaciones de segundo grado

 

Ecuaciones de segundo grado

 

Una ecuación de segundo grado, también llamada ecuación cuadrática, es de la clase de las algebraicas, con una sola incógnita que tiene grado dos, es decir, hay al menos una x elevada al cuadrado. La expresión general o canónica está dada por:

ax^2+bx+c=0

Ejemplos:

x^2-2x-3=0, en donde los coeficientes son a=1; b=-2; c=-3 y las soluciones que satisfacen la ecuación:

x_1=4x_2=-1

 

Soluciones de la ecuación cuadrática. Significado

 

Resulta que resolver una ecuación de grado dos no es otra cosa que hallar los dos puntos de corte de una función cuadrática con el eje x. Si la ecuación no tiene soluciones significa que la función cuadrática no corta al eje X.

I.  Ecuación con dos soluciones

La ecuación -x^2-2x+3=0 tiene por soluciones x_1=-3; x_2=1. La gráfica asociada a esta ecuación es f(x)=-x^2-2x+3. Gráficamente:

funcion cuadratica negativa

II.  Ecuación con una solución

La ecuación de grado dos -x^2=0 posee sólo una solución y coincide, por supuesto, con un punto del eje X, en este caso x_1=x_2=0

funcion cuadratica negativa con coeficiente cuadratico

III. Ecuación sin solución

La ecuación 2x^2+4x+5=0 no tiene ninguna solución. Como puedes ver en la gráfica, su función asociada nunca corta al eje X

funcion cuatratica sin solucion

 

Fórmula de ecuación de segundo grado

 

Este tipo de ecuaciones pueden ser resueltas fácilmente, sin más complicaciones, usando la siguiente fórmula:

x=\dfrac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}

 

En esta expresión, que nos da las soluciones de una ecuación de grado dos, el término que hay dentro de la raíz se llama discriminante. Esto es, en x=\dfrac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}, el discriminante es b^2 - 4ac

Puede ser interesante estudiar la demostración de la fórmula de la ecuación de segundo grado. Eso es lo que vamos a hacer ahora mismo.

 

Deducción o demostración de la fórmula de las ecuaciones de segundo grado

 

Partimos de la expresión de la ecuación cuadrática, expresada en su forma general, y vamos ha llevar a cabo sobre ella una serie de acciones:

 

  • multiplicar ambos miembros por 4a

ax^2+bx+c=0

4a(ax^2+bx+c)=4a0

4a^2x^2+4abx+4ac=0

 

  • Sumar a ambos miembros el término b^2

4a^2x^2+4abx+4ac+b^2=0+b^2

 

  • Reescribir algunos de los términos que aparecen en el primer miembro en forma de binomio al cuadrado

4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac

(2ax)^2+2(2ax)b+b^2=b^2-4ac

(2ax+b)^2=b^2-4ac

 

  • Despejar la x

\sqrt {(2ax+b)^2}=\pm\sqrt {b^2-4ac }

2ax+b=\pm\sqrt { b^2-4ac }

x=\dfrac {-b \pm\sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}   ← ¡Aquí tenemos la fórmula!

 

Vídeo de la demostración de la ecuación cuadrática

 

Te dejo aquí este vídeo en el que intento, de una forma llevadera, hacer esta pequeña demostración. Tal vez el punto más problemático sea el saber identificar los términos que son posible reescribir como un binomio al cuadrado. ¡Que la disfrutes (si es que eso es posible, claro)!

 

 

 

Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado

 

¿Para qué sirven las ecuaciones cuadráticas o de grado dos? Las ecuaciones en general describen muchísimos fenómenos que se dan en la naturaleza y también en otros campos, como la economía e incluso la sociología.

Imposible entender nada sobre el comportamiento de cualquier cosa lanzada al aire, sobre electricidad, sobre magnetismo, sobre distancias y superficies, sobre propagación de enfermedades, sobre cómo maximizar beneficios o minimizar gastos, sobre óptica, multitud de procesos químicos y biológicos, meteorología…

Vamos a ver unos ejemplos concretos:

 

  • Tiempo de caída de un cuerpo

Cuando se deja caer cualquier cosa desde una ventana podemos saber el tiempo que va a tardar en llegar al suelo resolviendo una ecuación de segundo grado (si es que conocemos la altura).

Para una situación muy sencilla, la ecuación de segundo grado que describe este fenómeno estaría dada por

x=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2

 

  • Periodo de un planeta

Conociendo la distancia entre un planeta y el Sol es posible saber cuánto tarda en dar una vuelta en torno a él (duración del año del planeta).

La ecuación de grado dos que explica todo esto es:

c\cdot r^3=T^2

 

Ecuaciones de segundo grado incompletas

 

A veces alguno de los coeficientes de la ecuación cuadrática b y c son nulos, o simultáneamente incluso. En estos casos tenemos una ecuación de segundo grado incompleta, que suele ser más fácil de resolver. Vamos a ver cada uno de los tres casos posibles.

El término independiente es cero, es decir, ax^2+bx=0.

En este caso, sacando factor común a x podemos escribir x(ax+b)=0, de donde directamente se deduce que las soluciones son  x_1=0 y  x_2+bx=-\dfrac{b}{a}.

Ejemplo

Resuelve: x^2-3x=0

Solución:

Antes de nada y con el fin de hacernos una idea de la ecuación, vamos a representar f(x)=x^2-3x. Los puntos de corte con el eje X van a ser las soluciones de la ecuación:

ecuacion segundo grado termino independiente cero

Primeramente sacamos factor común a x de x^2-3x=0, obteniendo x(x-3)=0 y de aquí, despejando x, llegaremos a lo siguiente:

x_1=0 y  x_2=3.

El término lineal es nulo, esto es, ax^2+c=0. Despejando x tenemos que:

x_1= {\sqrt {\left( \dfrac{-c}{a} \right)}} ;  x_2= -{\sqrt {\left( \dfrac{-c}{a} \right)}}

Las soluciones  x_1;  x_2 tendrán solución real cuando c cumpla c>0

Ejemplo

Resuelve: 3x^2-5=0

Solución:

Muy sencillo este caso. Basta con despejar x

 x_1={\sqrt {\left( \dfrac{5}{3} \right)}};  x_2= -{\sqrt {\left( \dfrac{5}{3} \right)}}

Sólo existe el término cuadrático o de segundo grado: a(x \pm b)^2=0. En este caso las dos soluciones tienen siempre el mismo valor y pertenecen a un punto del eje X. Ello quiere decir que el vértice de la función f(x)=a(x \pm b)^2 está en origen de coordenadas.

A continuación puedes ver la función f(x)=ax^2, cuyo vértice descansa sobre el origen. La ecuación f(x)=0 tiene como solución el punto único x=0

ecuacion de segungo grado con solo termino cuadratico no nulo

 

Ecuaciones de segundo grado resueltas

 

Tenemos para ti una colección de ecuaciones cuadráticas agrupadas en varios tipos (completas, incompletas, con binomios -o más apropiadamente, trinómicas y con fracciones) resueltas paso a paso para que a través de ellas puedas entender cuál es la forma apropiada de enfrentarse a este tipo de problemas y después de esto ser capaz de enfrentarte por tu cuenta y con garantías de éxito a todo tipo de ecuación de segundo grado.