Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

 

distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano puede entenderse como la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Simplemente hay que aplicar el teorema de Pitágoras para hallarla.

Tenemos aquí un ejemplo claro de una interesante aplicación del PLANO CARTESIANO. Se trata de hallar la distancia que hay entre dos puntos del plano.

Veremos que conocidas las coordenadas de dos puntos usando simplemente una fórmula se hace muy fácil determinar la distancia. La fórmula es el resultado de aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa, que a la postre, como te mostraré, es la distancia buscada.

Definición

 

¿Qué es la distancia entre dos puntos sobre un plano? Es simplemente la distancia mínima que hay entre ambas posiciones, las cuales vienen determinadas por las sus coordenadas en el eje de las X y en el eje de las Y.

La distancia mínima es sinónimo del camino más corto que separa a ambas singularidades.

 

Fórmula

Sean dos puntos sobre el plano cartesiano, P_1(x_1,y_1) y P_2(x_2,y_2). La distancia que hay entre ellos viene dada por la siguiente expresión:

d(P_1,P_2)=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

 

Ejercicios resueltos

 

A continuación dispones de una colección de ejercicios resueltos desde los más sencillos hasta llegar a otros más complejos, por ejemplo, con fracciones. También encontrarás algunos problemas de aplicación en la vida cotidiana.

Enunciado

Halla la distancia en el plano entre dos puntos cuyas coordenadas cartesianas son P_1(3,2) y P_2(5,1)

Solución

ejercicio facil distancia entre dos puntos

Resolver el ejercicio consiste en hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 2 unidades, respectivamente.

Para dos puntos cualquiera del plano cartesiano, P_1(x_1,y_1) y P_2(x_2,y_2) siempre se cumple que la distancia que hay entre ellos está dada por la siguiente expresión:

d(P_1,P_2)=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Simplemente tenemos que introducir de forma adecuada los datos del enunciado, operar y listo:

  • P_1(x_1,y_1) viene dado por P_1(3,1)
  • P_2(x_2,y_2) es P_2(5,6)

Entonces:

d(P_1,P_2)=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt {(5-3)^2+(6-1)^2}

Operando:

d(P_1,P_2)=\sqrt {(2)^2+(5)^2}=\sqrt {4+25}=\fbox{\sqrt {29}} unidades.

Enunciado

¿Cuál es la distancia mínima entre los siguientes dos puntos? P_1(7,3); P_2(9,4)

Solución

La distancia que hay entre dos puntos genéricos, P_1(x_1,y_1) y P_2(x_2,y_2) está dada por la expresión siguiente:

d(P_1,P_2)=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Vamos a introducir los datos dados en la anterior ecuación:

  • P_1(x_1,y_1)=P_1(7,3)
  • P_2(x_2,y_2)= P_2(9,4)
  • x_2-x_1=9-7=2
  • y_2-y_1=4-3=1

Entonces:

d(P_1,P_2)=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt {2^2+1^2}=\sqrt {4+1}=\fbox{\sqrt 5} unidades

 

 

Enunciado

Sean los puntos P_1(3,4); P_2(1,5). ¿Cuál es la distancia que hay entre ellos?

Solución

 

 

Simplemente hay que saber que para dos puntos cualesquiera del plano cartesiano,P_1(x_1,y_1) y P_2(x_2,y_2), la distancia se expresa de la siguiente manera:

d(P_1,P_2)=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Insertemos los datos del problema en la fórmula:

  • P_1(x_1,y_1)=P_1(3,4)
  • P_2(x_2,y_2)= P_2(1,5)
  • x_2-x_1=1-3=-2
  • y_2-y_1=5-4=1

Entonces

d(P_1,P_2)=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt {(-2)^2+1^2}=\sqrt {4+1}=\fbox{\sqrt 5} unidades

 

 

 

Enunciado

Tenemos dos puntos sobre un plano cuyas coordenadas son las siguientes: P_1(\dfrac{1}{2},-3); P_2(0,\dfrac{-2}{5}). Calcula la distancia entre ambos.

Solución

La expresión d(P_1,P_2)=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} la aplicamos cada vez que hay que encontrar la distancia entre dos puntos P_1(x_1,y_1) y P_2(x_2,y_2), como este es nuestro caso.

introducimos los datos en la ecuación anterior:

  • P_1(x_1,y_1)= P_1\left(\dfrac{1}{2},-3\right)
  • P_2(x_2,y_2)= P_2\left(0,\dfrac{-2}{5}\right)
  • x_2-x_1=0-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}
  • y_2-y_1=\dfrac{-2}{5}-(-3)=\dfrac{-2}{5}+3=\dfrac{13}{5}

Entonces

d(P_1,P_2)=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt {\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{13}{5}\right)^2}=\sqrt {\dfrac{1}{4}+\dfrac{16}{4}}=\sqrt \dfrac{701}{100}=\fbox{\dfrac{\sqrt {701}}{10}} unidades

 

 

 

Imágenes y fotografías

 

A continuación tienes una serie de imágenes,  fotografías y dibujos de ejercicios resueltos del presente tema: distancia entre dos puntos. visualizarlos y descargarlos es fácil. Espero que te sirva.

Deducción de la fórmula de la distancia entre dos puntos

deducción de la distancia entre dos puntos

Ejercicio resuelto con puntos de coordenadas con fracciones

ejercicio resuelto de distancia entre dos puntos con fracciones

Vídeos

 

Para completar el estudio de la distancia dada entre dos puntos en dos dimensiones nada mejor que unos vídeos en los que de forma práctica se resuelven ejercicios significativos de este tema.