El Teorema del Binomio

 

El Teorema del Binomio, también conocido como Teorema del Binomio de Newton, es una fórmula que permite expresar cualquier binomio (suma o resta de dos términos) que está elevado a un exponente entero positivo como suma de varios términos.

Así, para un binomio elevado a la enésima potencia, el Teorema del Binomio nos permite hacer fácilmente la siguiente expansión factorial:

 

(a+b)^n={n \choose 0}a^nb^0+{n \choose 1}a^{n-1}b^1+{n \choose 2}a^{n-2}b^2+......+{n \choose r}a^{n-r}b^r+.....+{n \choose n}a^0b^n

siendo {n \choose r}a^{n-r}b^r el término general.

 

Coeficientes del binomio de Newton

 

Los coeficientes que aparecen en este desarrollo están expresados mediante números combinatorios:

{n \choose 0}{n \choose 1}{n \choose 2}, …… {n \choose r}, …..

tal que {n \choose r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}

 

Razonamiento y deducción

 

Seguro que estás familiarizado con el binomio al cuadrado y en cómo se desarrolla:

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2

 

El binomio al cubo se puede obtener usando el binomio al cuadrado:

(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)(a^2+2ab+b^2)=a(a^2+2ab+b^2)+b(a^2+2ab+b^2)==a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

 

Procediendo de la misma manera y ¡con paciencia! obtendríamos lo siguiente para el binomio elevado a la cuarta potencia:

(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

 

Operando de la misma manera para obtener así los resultados de (a+b)^5(a+b)^6, etc… todas estas potencias expandidas desde (a+b)^0 podríamos reagruparlas de la siguiente manera:

 

1

1a+1b

1a^2+2ab+1b^2

1a^3+3a^2b+3ab^2+1b^3

1a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+1b^4

1a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+1b^5

1a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6a^1b^5+1b^6

etc

 

Triángulo de Pascal y números combinatorios

 

Seguimos con nuestro razonamiento. Ahora vamos a fijarnos sólo en los coeficientes de los términos que aparecen en la pirámide que hemos formado con el desarrollo de las potencias de los binomios (a+b)^0(a+b)^1(a+b)^2(a+b)^3(a+b)^4(a+b)^5(a+b)^6, ….,etc.

 

1

1       1

1       2       1

1       3       3       1

1       4       6       4       1

1       5       10       10       5       1

1       6       15       20       15       6       1

 

Eso que tenemos ahí delante resulta que es famoso triángulo de Pascal. Cada uno de esos términos pueden ser escritos mediante números combinatorios:

 

{0 \choose 0}

{1 \choose 0}       {1 \choose 1}

{2 \choose 0}       {2 \choose 1}       {2 \choose 2}

{3 \choose 0}       {3 \choose 1}       {3 \choose 2}       {3 \choose 3}

{4 \choose 0}       {4 \choose 1}       {4 \choose 2}       {4 \choose 3}       {4 \choose 4}

{5 \choose 0}       {5 \choose 1}       {5 \choose 2}       {5 \choose 3}       {5 \choose 4}       {5 \choose 5}

{6 \choose 0}       {6 \choose 1}       {6 \choose 2}       {6 \choose 3}       {6 \choose 4}       {6 \choose 5}       {6 \choose 6}

 

Esta es la razón de que a la hora de desarrollar las potencias de las sumas de binomios aparezcan los números combinatorios. Interesante, ¿verdad?.

 

Ejercicios resueltos

 

A continuación voy a hacer una serie de ejercicios, los más representativos relacionados con el Binomio de Newton.

 

Expande el siguiente cubo binomial (2x+3)^3

 

Simplemente aplicamos el teorema del binomio y listo. Recordando que para un binomio de potencia n se ha de cumplir que:

 

(a+b)^n={n \choose 0}a^nb^0+{n \choose 1}a^{n-1}b^1+{n \choose 2}a^{n-2}b^2+......+{n \choose r}a^{n-r}b^r+.....+{n \choose n}a^0b^n.

 

Entonces, en nuestro caso, con n=3, se tiene:

 

(2x+3)^3={3 \choose 0}(2x)^33^0+{3 \choose 1}(2x)^{3-1}3^1+{3 \choose 2}(2x)^{3-2}3^2+{3 \choose 3}(2x)^{3-3}3^0.

 

Ahora vamos a operar:

 

(2x+3)^3=\dfrac{3!}{0!(3-0)!}8x^3+\dfrac{3!}{1!(3-1)!}(2x)^23+\dfrac{3!}{2!(3-2)!}18x+\dfrac{3!}{3!(3-3)!}27.

 

Simplificando:

 

(2x+3)^3=\dfrac{3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8 {x^3}+\dfrac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} \cdot (2x)^23+\dfrac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 18x+\dfrac{3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 27.

 

 

 

Vídeos sobre el Binomio de Newton

 

A continuación te dejo una serie de vídeos relacionados sobre el Teorema del Binomio. Espero que te sirva de ayuda.

Ejercicio resuelto fácil del Binomio de Newton

 

Binomio elevado al cubo y desarrollado mediante el Teorema del Binomio.