Ecuaciones exponenciales

 

Ecuación exponencial es la ecuación en la que aparecen potencias y en una o en alguna de ellas hay exponentes que son variables. Una ecuación exponencial sería, por ejemplo 7^{x+3}=1-x y otra ecuación no exponencial x^3=7^2-x

Resolver ecuaciones exponenciales puede ser realmente complicado pero normalmente los casos con los que te vas a encontrar no entrañan mucha dificultad.

Cuando tenemos una ecuación «amistosa» la estrategia a seguir es hacer todo lo posible para que en ambos miembros aparezcan dos términos exponenciales con la misma base. En ese caso las bases se pueden cancelar y nos queda una sencilla expresión. Es decir, si la ecuación a resolver es de la forma a^x=b debemos de encontrar el modo de expresar b como una base de a, es decir b=a^c

 

Ejemplo de ecuación exponencial con la misma base

 

2^{x-1}=2^3

La base es la misma en ambos miembros y por ello la podemos eliminar:

x-1=3

La ecuación que queda, algebraica de grado, es muy fácil de resolver:

x=4

 

 

Más ecuaciones exponenciales resueltas. Misma base

 

 

Vamos ahora a resolver ecuaciones exponenciales de forma detallada explicando todos los pasos dados. Para poder tener éxito resolviendo estas ecuaciones es necesario conocer las propiedades de las potencias. En este caso no hay que aplicar logaritmos. Esa situación es necesaria cuando tenemos bases diferentes.

1.- Resueve: 2^{3x+1}=2^5


Solución

Como la base es la misma en ambos miembros simplemente hay que resolver la ecuación equivalente a la dada que es la formada por los exponentes, 3x+1=5.

Operando:

3x+1-1=5-1

3x=5

\dfrac {3x}{3}=\dfrac {5}{3}

{x=\dfrac {5}{3}}

Resueve: 3^{1-2x}=243


Solución

La base es la misma en ambos miembros ya que, 243=3^4. Teniendo esto en cuenta:

3^{1-2x}=3^4

Como la base de las potencias son iguales la ecuación exponencial anterior es equivalente a la siguiente ecuación lineal:

1-2x=4

Despejando x llegamos a el resultado deseado:

{x=-\dfrac{3}{2}}

Resuelve: 5^{x-3}=1


Solución

Es necesario recordar que 1=a^0. Entonces la ecuación 5^{x-3}=1 puede escribirse así:

5^{x-3}=5^0

Como tenemos dos potencias de la misma base (base 5) podemos eliminar la base:

x-3=0

La ecuación resultante es trivial:

{x=3}

Resuelve: 8^{2x-3}=\left(1/16\right)^{x-2}


Solución

Tenemos en cuenta que 8=2^3 y que 1/16=2^{-4}. Entonces 8^{2x-3}=\left(1/16\right)^{x-2} puede escribirse del siguiente modo:

(2^2)^{2x-3}=(2^{-4})^{x-2}

Ahora recordamos la propiedad \left(a^b\right)^c=a^{b\cdot c} y la aplicamos:

2^{6x-9}=2^{-4x+8}

Eliminamos la base 2 a ambos lados de la ecuación:

6x-9=-4x+8

Finalmente despejamos x:

{x=\dfrac {17}{10}}

Resuelve: 3^{5x+1}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{9}}


Solución

Ambos miembros poseen la misma potencia, aunque aparentemente no lo parezca. Para ver esto aplicaremos las reglas de las potencias. Para empezar, 9 puede ser expresado como 3^2. Así podremos escribir la ecuación como:

3^{5x+1}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{3^2}}

Ahora vamos a recordar dos importantes propiedades de las potencias:

I.   \sqrt[c]{a^b}=a^{\frac{b}{c}}

II.  \dfrac {1}{a^b}=a^{-b}

Teniendo en cuenta I. y II., nuestra ecuación puede ser manipulada como sigue:

3^{5x+1}=\dfrac{1}{3^\frac{2}{5}}

3^{5x+1}=\dfrac{1}{3^\frac{-2}{5}}

5x+1=- \dfrac {2}{5}

{x=-\dfrac{27}{25}}

Resuelve: log(5^{2x-3})=log18


Solución

Un logaritmo operando a una potencia hace que el exponente de la potencia pase a multiplicarla. Entonces log(5^{2x-3})=log18 se puede escribir así:

(2x-3)log5=log18

Intentamos ahora aislar a los logaritmos en uno de los dos miembros:

2x-3=\dfrac{log18}{log5}

Usando la calculadora hallamos el valor del cociente logarítmico:

2x-3\approx 1,8

Finalmente resolvemos la sencilla ecuación de grado 1 obteniendo el valor de x:

x\approx 2,4

Ecuación exponencial con diferente base resuelta

 

 

En otras ocasiones no nos va a ser posible llevar a cabo las acciones pertinentes para conseguir miembros con la misma base usando las reglas de las potencias. En ese caso debemos usar logaritmos. Vamos a resolver aquí un ejemplo:

2^x=3^4

No se puede escribir 3^4 como una potencia de 2, por lo que aplicamos logaritmos a ambos miembros (logaritmos neperianos en este caso):

ln2^x=ln3^4

Usamos ahora la propiedad de los logaritmos siguiente: loga^b=b\cdot log a

xln2=4ln3

Por último, se despeja x:

x=\dfrac{4ln3}{ln2}

Vídeos de ecuaciones exponenciales resueltas

 

A continuación puedes ver una serie de vídeos de ecuaciones con la incógnita en el exponente en donde con detalle te muestro los pasos apropiados para llegar a conseguir la solución buscada.

Ejercicios en PDF de ecuaciones exponenciales resueltas

 

Aquí tienes una pequeña colección de ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales. Como las potencias y los logaritmos están muy relacionados, incluimos también ejercicios mixtos de ecuaciones exponenciales.

 

ecuaciones-exponenciales-resueltos