Ecuaciones exponenciales

 

Ecuación exponencial es la ecuación en la que aparecen potencias y en una o en alguna de ellas hay exponentes que son variables. Una ecuación exponencial sería, por ejemplo 7^{x+3}=1-x y otra ecuación no exponencial x^3=7^2-x

Resolver ecuaciones exponenciales puede ser realmente complicado pero normalmente los casos con los que te vas a encontrar no entrañan mucha dificultad.

Cuando tenemos una ecuación «amistosa» la estrategia a seguir es hacer todo lo posible para que en ambos miembros aparezcan dos términos exponenciales con la misma base. En ese caso las bases se pueden cancelar y nos queda una sencilla expresión. Es decir, si la ecuación a resolver es de la forma a^x=b debemos de encontrar el modo de expresar b como una base de a, es decir b=a^c

Ejemplo:

2^{x-1}=2^3

La base es la misma en ambos miembros y por ello la podemos eliminar:

x-1=3

La ecuación que queda, algebraica de grado, es muy fácil de resolver:

x=4

En otras ocasiones no nos va a ser posible llevar a cabo las acciones posibles para conseguir miembros con la misma base usando las reglas de las potencias. En ese caso debemos usar logaritmos. Vamos a resolver aquí un ejemplo:

2^x=3^4

No se puede escribir 3^4 como una potencia de 2, por lo que aplicamos logaritmos a ambos miembros (logaritmos neperianos en este caso):

ln2^x=ln3^4

Usamos ahora la propiedad de los logaritmos siguiente: loga^b=b\cdot log a

xln2=4ln3

Por último, se despeja x:

x=\dfrac{4ln3}{ln2}

 

Ecuaciones exponeciales resueltas

 

Vamos ahora a resolver ecuaciones exponenciales de forma detallada explicando todos los pasos dados. Para poder tener éxito resolviendo estas ecuaciones es necesario conocer las propiedades de las potencias y también las de los logaritmos.

 

a) Que no requieren logaritmos para ser resueltas

1.- Resueve: 2^{3x+1}=2^5


Solución

Como la base es la misma en ambos miembros simplemente hay que resolver la ecuación equivalente a la dada que es la formada por los exponentes, 3x+1=5.

Operando:

3x+1-1=5-1

3x=5

\dfrac {3x}{3}=\dfrac {5}{3}

\fbox{x=\dfrac {5}{3}}

Resueve: 3^{1-2x}=243


Solución

La base es la misma en ambos miembros ya que, 243=3^4. Teniendo esto en cuenta:

3^{1-2x}=3^4

Como la base de las potencias son iguales la ecuación exponencial anterior es equivalente a la siguiente ecuación lineal:

1-2x=4

Despejando x llegamos a el resultado deseado:

\fbox{x=-\dfrac{3}{2}}

Resuelve: 5^{x-3}=1


Solución

Es necesario recordar que 1=a^0. Entonces la ecuación 5^{x-3}=1 puede escribirse así:

5^{x-3}=5^0

Como tenemos dos potencias de la misma base (base 5) podemos eliminar la base:

x-3=0

La ecuación resultante es trivial:

\fbox {x=3}

Resuelve: 8^{2x-3}=\left(1/16\right)^{x-2}


Solución

Tenemos en cuenta que 8=2^3 y que 1/16=2^{-4}. Entonces 8^{2x-3}=\left(1/16\right)^{x-2} puede escribirse del siguiente modo:

(2^2)^{2x-3}=(2^{-4})^{x-2}

Ahora recordamos la propiedad \left(a^b\right)^c=a^{b\cdot c} y la aplicamos:

2^{6x-9}=2^{-4x+8}

Eliminamos la base 2 a ambos lados de la ecuación:

6x-9=-4x+8

Finalmente despejamos x:

\fbox{x=\dfrac {17}{10}}

Resuelve: 3^{5x+1}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{9}}


Solución

Ambos miembros poseen la misma potencia, aunque aparentemente no lo parezca. Para ver esto aplicaremos las reglas de las potencias. Para empezar, 9 puede ser expresado como 3^2. Así podremos escribir la ecuación como:

3^{5x+1}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{3^2}}

Ahora vamos a recordar dos importantes propiedades de las potencias:

I.   \sqrt[c]{a^b}=a^{\frac{b}{c}}

II.  \dfrac {1}{a^b}=a^{-b}

Teniendo en cuenta I. y II., nuestra ecuación puede ser manipulada como sigue:

3^{5x+1}=\dfrac{1}{3^\frac{2}{5}}

3^{5x+1}=\dfrac{1}{3^\frac{-2}{5}}

5x+1=- \dfrac {2}{5}

\fbox{x=-\dfrac{27}{25}}

Resuelve: log(5^{2x-3})=log18


Solución

Un logaritmo operando a una potencia hace que el exponente de la potencia pase a multiplicarla. Entonces log(5^{2x-3})=log18 se puede escribir así:

(2x-3)log5=log18

Intentamos ahora aislar a los logaritmos en uno de los dos miembros:

2x-3=\dfrac{log18}{log5}

Usando la calculadora hallamos el valor del cociente logarítmico:

2x-3\approx 1,8

Finalmente resolvemos la sencilla ecuación de grado 1 obteniendo el valor de x:

x\approx 2,4

Vídeos de ecuaciones exponenciales resueltas

 

A continuación puedes ver una serie de vídeos de ecuaciones con la incógnita en el exponente en donde con detalle te muestro los pasos apropiados para llegar a conseguir la solución buscada.