Fracciones o quebrados

 

A continuación vamos a ver las ideas principales sobre las fracciones, también llamadas quebrados. Qué son, formas de entenderlas, operaciones que se pueden hacer, tipos y otras cosas, esto es lo que trataremos ahora mismo.

 

Contenidos

Qué son las fracciones

 

Las fracciones o quebrados son dos cantidades separadas por una raya horizontal. Al número superior se le llama numerador y al número inferior se le llama denominador.

cómo se escribe una fracción

Forma general de una fracción con el numerador y el denominador indicados

Estos dos números separados por la raya horizontal pueden ser entendidos de tres formas que son equivalentes entre sí:

  • una forma de indicar números de trozos o partes de algo (partes de un pastel, partes de cierta cantidad de dinero…).
  • un operador que actúa sobre cualquier cosa, indicando las partes que tomamos de esa cosa.
  • una división.

Veamos unos ejemplos de cada una de estas formas de entender una fracción.

 

Las fracciones son trozos iguales de una unidad

 

Caso en el que el numerador es menor que el denominador

 

Ejemplo 1

 

Imagina que tenemos una chocolatina y la dividimos en cinco partes iguales. Si cogemos dos partes entonces podemos decir que tenemos \dfrac{2}{5} de la chocolatina.

Tomamos dos partes de una chocolatina que está dividida en cinco partes

Ejemplo 2

Supongamos que nuestro depósito de gasolina está dividido en 4 partes. Después de haber hecho unos kilómetros aún nos quedan \dfrac{3}{4} del depósito

3/4 del depósito quiere decir que de cuatro partes del depósito aún nos quedan 3

 

Caso en el que el numerador es mayor que el denominador

 

Ahora vamos a suponer que tenemos varias chocolatinas, todas ellas divididas en 5 partes. Si cogemos, por ejemplo, siete trozos, podemos representar esto mediante la fracción \dfrac {7}{5}. Lo anterior es equivalente a suponer que hemos cogido \dfrac {5}{5}, que es una chocolatina entera, más \dfrac {2}{5}, es decir, dos porciones de otra.

Representación de 7/5. Hemos cogido siete partes de chocolatinas estando cada una de ellas dividida en 5 partes.

 

Las fracciones son operadores que actúan sobre cantidades

 

Una fracción puede ser entendida como un operador que en concreto multiplica a una cantidad, dándonos esta operación una importante información, cosa que se hace muy habitualmente en muchísimos contextos de la vida diaria.

Ejemplo 1

Un camello ha bebido \dfrac {4}{7} de 14 litros de agua. Eso significa que el animal ha consumido la siguiente cantidad de líquido:

\dfrac {4}{7} \cdot 14, cuyo resultado es \dfrac {4 \cdot 14}{7} = 8 litros

 

La fracción de cierta cantidad se calcula simplemente multiplicando la fracción por dicha cantidad

 

Las fracciones son divisiones

 

Otra forma de entender las fracciones es viéndolas como divisiones. Por ejemplo, \dfrac {2}{5} es lo mismo que la división entre 2 y 5, cuyo resultado es 0,4.

Más ejemplos:

 

    • \dfrac {7}{2} es lo mismo que la división entre 7 y 2, cuyo resultado es 3,5.

 

  • \dfrac {11}{4} es lo mismo que la división entre 11 y 4, cuyo resultado es 2,75.

 

 

Vídeo: Qué es una fracción. Concepto de quebrado

 

Doy respuesta en este vídeo a la pregunta más fundamental del tema: ¿qué son las fracciones o los quebrados? ¿Cuál es el concepto de quebrado? Vamos a ver tres formas distintas de entender las fracciones: como partes de una unidad, como operadores y como divisiones.

Fracciones equivalentes

 

Las fracciones equivalentes entre sí son fracciones diferentes pero que tienen el mismo valor. Por ejemplo \dfrac {3}{6}\dfrac {11}{22} son fracciones equivalentes entre sí porque tienen el mismo valor, 0,5.

 

¿Cómo conseguir fracciones equivalentes a otra dada?

 

A partir de una fracción o un quebrado es muy sencillo obtener otras fracciones equivalentes a esa dada. Lo único que hay que hacer es multiplicar por el mismo número tanto el numerador como el denominador. Igualmente es posible dividir, también por el mismo número, el numerador y el denominador.

 

Obtención de fracciones equivalentes multiplicando

 

Si tenemos, por ejemplo, la fracción \dfrac {5}{4}, algunas fracciones equivalentes a esta y por supuesto, todas equivalentes entre sí, son:

 

    • \dfrac {5 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \dfrac{10}{8}
    • \dfrac {5 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \dfrac{15}{12}

 

Obtención de fracciones equivalentes dividiendo

 

Sea la fracción \dfrac {12}{18} = \dfrac{10}{8}. Dos fracciones equivalentes a ella, por división, serán, por ejemplo:

 

    • \dfrac {12 : 2}{18 : 2} = \dfrac{6}{9}
    • \dfrac {12 : 3}{18 : 3} = \dfrac{4}{6}

Vídeo: Qué son las fracciones equivalentes y cómo se obtienen

 

Cada fracción tiene asociada a ella infinitas fracciones equivalentes. Aquí te enseño qué son estas fracciones y también a cómo obtenerlas.

 

 

Simplificación de fracciones

 

Esto de la simplificación de fracciones está íntimamente unido al tema de las fracciones equivalentes. Una fracción simplificada va a ser una fracción equivalente a la dada en la que el numerador y el denominador son más pequeños.

Ejemplo:

\dfrac {30}{60} puede escribirse de una forma equivalente más simplificada como \dfrac {15}{30}

A veces una fracción presenta varias fracciones equivalentes que son más sencillas. A la fracción equivalente que tiene el numerador y el denominador más pequeño posible se la llama fracción irreducible.

Ejemplo:

\dfrac {30}{60}=\dfrac {15}{30}=\dfrac {5}{10}=\dfrac {1}{2} son todas fracciones equivalentes. La más sencilla de todas, la más simplificada es la última, \dfrac {1}{2} y se le llama fracción irreducible.

 

Cómo simplificar fracciones

 

Para simplificar una fracción y poder expresarla en forma irreducible lo que hay que hacer es lo siguiente:

 

Descomponiendo numerador y denominador en factores primos

 

Si la fracción se puede simplificar entonces veremos que al descomponer en factores primos el numerador y el denominador tenemos algunos números iguales que están tanto en el numerador como en el denominador. En ese caso esos números se pueden eliminar (o cancelar) y nos quedará una fracción simplificada e irreducible.

 

Dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número

 

Realmente estamos haciendo lo mismo que en el otro caso pero aquí paso a paso. Simplemente tenemos que ir dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número. Para ser eficientes aplicaremos las propiedades de la divisibilidad de números enteros.

Vídeo: Simplificar fracciones algebraicas

 

Simplificación de una fracción algebraica (en concreto, una fracción con polinomios) en donde, para simplificar, lo que hacemos es sacar factor común y descomponer los polinomios en factores primos.

Simplificación de fracciones algebraicas

 

Obviamente las fracciones no son sólo cosa de números enteros. Las fracciones con expresiones algebraicas están absolutamente omnipresentes en cualquier libro de física o ingeniería y su manejo es uno de los objetivos más importantes de las matemáticas en Educación Secundaria.

Veamos aquí un par de ejemplos de fracciones algebraicas:

\dfrac {5a^2 \cdot b^3 \cdot c}{a^4 \cdot b \cdot c^{2}}

\dfrac {2x^2+3x+1}{x+2}

Al igual que en el caso de cuando tenemos números enteros, con expresiones algebraicas las fracciones también pueden ser equivalentes a otras y buscar una fracción irreducible de una fracción algebraica dada es algo que se busca continuamente.

 

Cómo se simplifican fracciones algebraicas

 

Para simplificar las fracciones algebraicas, al igual que con los números enteros, tenemos que descomponer las expresiones algebraicas, que constituyen el numerador y denominador, en factores primos.

Tenemos que poner la atención en lo siguiente:

a) ver si podemos sacar factor común de forma rápida a los términos que forman la expresión

b) con la expresión ordenada por sus exponentes, de mayor a menor, por ejemplo, fijarnos si se puede asimilar a la de alguna expresión notable o producto notable.

c) si por la mera inspección no podemos hacer nada, entonces tendremos que usar técnicas como la del Teorema de Ruffini.

Vídeo: Simplificar fracciones descomponiendo en factores primos

 

Simplificar fracciones hasta dejarlas en su forma irreducible es uno de los ejercicios más importantes con fracciones. Una forma muy interesante de hacerlo es descomponiendo en factores primos tanto el numerador como el denominador y simplificar.

 

Sumas y restas de fracciones

 

Una vez entendido el concepto de fracción, saber qué son las fracciones equivalentes y cómo simplificar, podemos ya adentrarnos en el mundo de las operaciones con fracciones. Empezamos con sumas y restas.

 

Sumas y restas de fracciones con el mismo denominador

 

Cuando el denominador de las fracciones o quebrados es el mismo en todas ellas y lo que queremos es hacer sumas y restas, esto es muy fácil, chicos. Basta hacer las operaciones con los numeradores. Observa estos dos ejemplos:

 

    • \dfrac{2}{7}+\dfrac{10}{7}=\dfrac{2+7}{7}=\dfrac{9}{7}

 

    • \dfrac{13}{5}-\dfrac{6}{5}=\dfrac{13-6}{5}=\dfrac{7}{5}

 

Sumas y restas de fracciones que tienen diferente denominador

 

En este caso lo que se trata de hacer es reescribir las fracciones implicadas en las sumas y restas de manera que presenten el mismo denominador. Para ello  hay que tener muy claro el concepto de fracción equivalente. Es posible reducir a común denominador varias fracciones a ojo pero lo más eficiente es buscar el mínimo común múltiplo de los números que son denominadores y después multiplicar numerador y denominador por el mínimo común múltiplo. Haciendo esto habremos reescrito las fracciones en sus equivalentes con el mismo denominador y el caso se habrá reducido al de sumas y restas de fracciones con el mismo denominador.

 

Ejemplo de cálculo a ojo

 

  • \dfrac{1}{4}-\dfrac{11}{12}

 

Lo que vamos a hace aquí es, en vez de usar la fracción \dfrac{1}{4}, manejar una fracción equivalente a ella y que tenga como denominador 12. Es fácil encontrar esta fracción, basta con multiplicar el numerador y el denominador por 3:

\dfrac{1}{4} es equivalente a \dfrac{1\cdot 3}{4 \cdot 3}= \dfrac{3}{12}

Entonces podremos escribir la resta entra ambas fracciones de esta forma equivalente:

  • \dfrac{3}{12}-\dfrac{11}{12}= \dfrac{3-11}{12}=- \dfrac{8}{12}=- \dfrac{2}{3}

 

Cálculo con el mínimo común múltiplo

 

  • \dfrac{7}{10}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{15}

 

El mínimo común múltiplo de los denominadores es m.c.m(10,6,15)=30

 

Vamos a multiplicar cada fracción por \dfrac{30}{30}, simplificar y después operar:

 

\dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{30}{30}-\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{30}{30}+\dfrac{2}{15} \cdot \dfrac{30}{30}=

=\dfrac{7 \cdot 3}{30} -\dfrac{1 \cdot 5}{30} +\dfrac{2 \cdot 2}{30}=

=\dfrac{21-5+4}{30}= \dfrac{20}{30}= \dfrac{2}{3}

 

 

 

Vídeo: Suma y resta de fracciones de distinto denominador de forma razonada

 

Es bueno tener métodos rápidos para sumar o restar fracciones con diferente denominador, pero mucho mejor es saber hacer las cosas de forma razonada. Esto es lo que hacemos en este vídeo. Convertimos las fracciones a operar en otras equivalentes con igual denominador y listo.

Vídeo: Suma de fracciones con diferente denominador

 

Necesitamos que las fracciones tengan todas el mismo denominador, tanto en la suma como en la resta. Para que ello sea posible hay varias estrategias que nos permiten reescribir las fracciones dadas por otras equivalentes con igual denominador. En este vídeo te muestro la forma seguir, la más sencilla.

Vídeo: Restar fracciones. Distinto denominador

 

Es muy sencillo restar fracciones entre sí cuando todas ellas tienen el mismo denominador. En el vídeo vemos una forma muy fácil de eliminar el problema de tener que restar con fracciones con distinto denominador. Tengo que decir que si los denominadores son muy grandes también es buena idea recurrir al método del mínimo común múltiplo.

Multiplicación de fracciones

 

Multiplicar fracciones es muy fácil. Cuando dos o más fracciones se están multiplicando el resultado es el siguiente: el numerador resultante va a ser el producto de todos los numeradores y el denominador resultante el producto de todos los denominadores.

 

Ejemplo de multiplicación de fracciones o quebrados

 

 

 

    • \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{5}{11}=\dfrac{3\cdot5}{4\cdot11}=\dfrac{15}{44}

Vídeo: Cómo se multiplican las fracciones

 

Multiplicar fracciones es muy sencillo. Basta multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí y listo. Siempre que se pueda hay que simplificar y tratar que la fracción resultante sea irreducible.

 

División de fracciones

 

Sean dos fracciones cualquiera \dfrac{a}{b} y \dfrac{c}{d}. La división entre ambas podemos representarla de las dos siguientes formas:

 

a)  \dfrac{a}{b}: \dfrac{a}{b}             b)  \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}

 

Cómo se dividen las fracciones

 

Veamos dos ejemplos de proceder equivalentes para hacer divisiones entre fracciones, completamente equivalentes, claro está.

 

División en forma de cruz

 

El numerador resultante de dividir dos fracciones será la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda mientras que el denominador va a ser el producto entre el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

 

Ejemplo:

 

\dfrac{3}{5}: \dfrac{7}{2}= \dfrac{3\cdot2}{5\cdot7}=\dfrac{6}{35}

 

 

División multiplicando por la inversa

 

Cuando tenemos dos fracciones que se están dividiendo podemos hacer lo siguiente: una de las dos fracciones la transformamos en su inversa y después multiplicamos ambas. Esto tiene su porqué. Fíjate:

 

\dfrac{a}{b}: \dfrac{a}{b}=\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b} \cdot \left(\dfrac{c}{d}\right)^{-1}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c}

 

Vamos a ver un ejermplo de esto:

 

\dfrac{13}{2}: \dfrac{3}{5}=\dfrac{13}{2}\cdot \dfrac{5}{3}= \dfrac{13\cdot 5}{2\cdot3}=\dfrac{65}{6}

 

 

 

División de fracciones como si fueran multiplicaciones

 

Si sabes multiplicar fracciones puedes entonces realizar divisiones también sin ningún problema. Basta con permutar en una de las fracciones el numerador por el denominador, multiplicar y listo. Veámoslo en este vídeo.

 

Vídeos sobre fracciones

 

A continuación te dejo aquí una colección de vídeos sobre este tema en donde voy resolviendo los ejercicios más interesantes para entenderlo todo de forma fácil. Los temas que trato van desde la pregunta más fundamental «qué es una fracción», pasando por el concepto de «fracción irreducible», «fracción equivalente», las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, además de técnicas de simplificación.