Ecuaciones logarítmicas

 

Una ecuación logarítmica es una igualdad de dos miembros en donde la incógnita o incógnitas están bajo la influencia logarítmica. Por ejemplo

log_{10} (x-99) = 2

Este tipo de ecuaciones guarda íntima relación con las ecuaciones exponenciales. De hecho se recurre a las propiedades de los logaritmos para resolver las ecuaciones exponenciales.

 

Propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones

 

Para no tener problemas resolviendo ecuaciones logarítmicas necesitas conocer las siguientes propiedades de los logaritmos

I.       log_{a} PQ = log_{a}P+ log_{a} Q

II.      log_{a} P^{r}= r log_{a} P

III.     log_{a} \dfrac{P}{Q} = log_{a}P-log_{a}Q

IV.     log_{a}1=0

V.      log_{a}a=1

VI.     a^{log_{a}b}=b

 

Cómo resolver ecuaciones logarítmicas

 

Lo que tratamos de hacer, cuando queremos resolver una de estas ecuaciones, es poner en un miembro todos los números y constantes y los logaritmos que contienen a la incógnita en el otro miembro. Después tratamos de expresar el número o contante como un logaritmo con la misma base que el que hay en el otro miembro y eliminarlos, convirtiéndose así la ecuación logarítmica en una ecuación mucho más fácil y proceder a resolver sin problemas.

A modo de ejemplo vamos a resolver la ecuación que antes nos sirvió de modelo:

log_{10} (x-99) = 2

log_{10} (x-99) =2 log_{10}10

log_{10} (x-99) =log_{10}10^{2}

x-99=2

x=101

 

Ecuaciones logarítmicas resueltas

A continuación te presentamos una colección de ecuaciones con logaritmos resueltas de forma detallada para que puedas para que puedas entender cómo hay que resolverlas

Resuelve: log_{5} (x) =-1


Solución:

Necesitamos que en el miembro en donde está el término -1 aparezca también la función logartímica log. Aplicamos la propiedad log_aa=1 al miembro derecho por lo que -1 \cdot 1 puede ser escrito como -1 \cdot log_5 5. Entonces, aplicando todo esto a log_{5} x =-1 podremos escribir que:

log_{5}x=-1log_{5}5

Ahora aplicamos la propiedad c \cdot log_{a} b =log_{a} b^c :

log_{5}x=log_{5}5^{(-1)}

En ambos miembros tenemos logaritmos en la misma base, por lo que podemos eliminarlos:

x=5^{(-1)}

Finalmente expresamos una potencia con exponente negativo en forma de fracción:

x=\dfrac{-1}{5}

 

 

Resuelve: log(x+5)-log(2x-3)=0


Solución:

Esta ecuación que tiene valor cero en uno de sus miembros es muy fácil de resolver. Basta con llevar uno de los logaritmos al otro miembro, eliminar logaritmos, puesto que ambos son de la misma base y despejar x:

log(x+5)-log(2x-3)=0

log(x+5)=log(2x-3)

Ahora cancelamos logaritmos \cancel{log}(x+5)=\cancel{log}(2x-3) y la ecuación resultante es ya bastante sencilla:

x+5=2x-3

3x=8

x=\dfrac{8}{3}

 

Resuelve: log_3(x+2)-log_3(x-4)=3


Solución

En la parte derecha de la ecuación tenemos que expresar 3 como un logaritmo en base tres ya que en el otro miembro tenemos dos logritmos en base tres.

En el lado izquedo, aplicando la regla de la suma de logaritmos simplificamos la expresión.

a)   3 es lo mismo que log_33^3

b)   log_3(x+2)-log_3(x-4) se puede escribir como log_3(x+2)(x-4)

Entonces:

log_3(x+2)(x-4)=log_33^3

(x+2)(x-4)=log_33^3

(x+2)(x-4)=27

x^2-2x-35=0

x_1=7;x_2=-5

(sólo x_1 es una solucion válida)

 

Resuelve: 3logx-log30=log\dfrac{x^2}{5}


Solución

Aplicaremos la propiedad II de los logaritmos y trataremos de eliminarlos obteniendo así una ecuación mucho más sencilla de resolver.

logx^3-log30=log\dfrac{x^2}{5}

log\dfrac{x^3}{30}=log\dfrac{x^2}{5}

\dfrac{x^3}{30}=\dfrac{x^2}{5}

x^3-6x=0

x^2(x-6)=0

x_1=x_2=0; x_3=6

(solo x_3 verifica la ecuación)

Resuelve: log_3(\dfrac{x+1}{2x-1})=2


Solución

Como siempre que hay un número en un miembro se expresa éste en forma de logaritmo, pudiendo entonces eliminar logaritmos en ambos lados.

log_3(\dfrac{x+1}{2x-1})=2

log_3(\dfrac{x+1}{2x-1})=2log_33

log_3(\dfrac{x+1}{2x-1})=log_33^2

\dfrac{x+1}{2x-1}=9

x+1=9(2x-1)

x=\dfrac{10}{17}

Resuelve: log_{2x+1}(\dfrac{x^4+2}{2x+1})=1


Solución

Expresamos 1 como un logaritmo en base 2x+1:

1=log_{2x+1}(2x+1)

Entonces

log_{2x+1}(\dfrac{x^4+2}{2x+1})=log_{2x+1}(2x+1)

\dfrac{x^4+2}{2x+1}=2x+1

x^4+2=4x^4+4x+1

x=\dfrac{1}{4}

Resuelve: log_3(3^x-8)=2-x


Nos interesa eliminar los logartimos así que vamos a escribir uno en el segundo miembro

log_3(3^x-8)=(2-x)log_33

log_3(3^x-8)=log_33^{2x-1}

3^x-8=3^{(2x-1)}

3^x-8=\dfrac{3^{2x}}{3}

3^x-\dfrac{3^{2x}}{3}-8=

3^{2x}-8\cdot3^x-9=0

Necesitamos hacer un cambio de variable: 3^x=t

Entonces:

t^2-8t-9=0 de donde t_1=9;t_2=-1

Deshaciendo el cambio:

3^x=3^2; 3^x=-1

La única solución es x=2

Resuelve log_3log_5x=-1


Solución

El miembro sin logaritmos lo escribimos en forma logarítmica

log_3log_5x=-1log_33

log_3log_5x=log_33^{-1}

log_5x=\dfrac{1}{3}

Volvemos a expresar el miembro sin logaritmo de forma logarítmica:

log_5x=\dfrac{1}{3}log_55

x=5^{\frac{1}{3}}

Vídeos de cómo resolver ecuaciones logarítmicas paso a paso

 

A continuación te presento una colección de ecuaciones logarítmicas (además de explicaciones de lo que son los logaritmos, por supuesto) para que puedas entender de forma más fácil de qué estamos hablando y cómo tienes que desenvolverte con el concepto de logaritmo.

Ecuación logarítmica aplicando las propiedades

 

 

 

Cálculo de logaritmos sin calculadora

 

 

 

Ecuaciones logarítmicas aplicando las propiedades

 

 

 

Valor de logaritmos aplicando la definición

 

 

 

Ecuación logarítmica con fracciones

 

 

 

 

Ecuación logarítmica resuelta de forma fácil