Ecuaciones matriciales

 

Cuando tenemos un sistema lineal de ecuaciones a veces es interesante resolverlo usando matrices. Existen varios métodos de resolución para resolver una ecuación mediante matrices. Los dos más usados son el método de Gauss y el método de la matriz inversa. Todo sistema lineal de ecuaciones puede ser escrito como un sistema de ecuaciones matriciales:

A \cdot X=B,

en donde A es la matriz de los coeficientes, X la matriz de las incógnitas y B la matriz de los términos independientes.

Ejemplo 1.

El sistema lineal de ecuaciones \begin{cases} x-2y=1\\ -3x+5y=-2 \end{cases} tiene el siguiente sistema matricial asociado:

\left(\begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}1 \\ -2 \end{array} \right)

Ejemplo 2.

Al sistema lineal \begin{cases} 3x+y-2z=1\\ -x-3y+5z=-1\\ 2x+7y+z=0 \end{cases} le corresponde el sistema matricial que te indico a continuación:

\left(\begin{array}{}3&1&-2\\-1&-3&5\\ 2&7&1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)

 

Ecuaciones matriciales resueltas

 

A continuación vamos a resolver una colección de sistemas de ecuaciones usando matrices. Todas están detalladamente resueltas y ordenadas en forma creciente en dificultad.

 

Resuelve:  \begin{cases} 2x+6y=6\\ 4x+3y=14 \end{cases}


La primera ecuación lineal, 2x+6y=6, puede simplificarse dividiendo ambos miembros por dos, obteniendo así la siguiente ecuación equivalente:

x+3y=3

Este sistema de ecuaciones puede ser escrito en forma matricial del siguiente modo:

\left(\begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 3 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}3 \\ 14 \end{array} \right)

Tenemos pues un sistema matricial A \cdot X=B. Bastará despejar X para llegar a las soluciones. Para ello multiplicamos ambos miembros por A^{-1}:

A^{-1} \cdot (A \cdot X)=A^{-1} \cdot B

X=A^{-1} \cdot B

Ahora nuestro esfuerzo está en hallar la matriz inversa A^{-1}. Existen varios métodos para ello. Nosotros aquí vamos a usar la fórmula de la inversa de una matriz A^{-1} que está dada por:

A^{-1}=\dfrac {(A^{adj})^T}{|A|}

Adjunta de AA^{adj}=\left(\begin{matrix} 3 & -4 \\ -3 & 1 \end{matrix}\right) La adjunta de la transpuesta de A(A^{adj})^T=\left(\begin{matrix} 3 & -3 \\ -4 & 1 \end{matrix}\right) El determinante de A|A|=\left|\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{matrix}\right|=a_{1,1} \cdot a_{2,2}-a_{1,2} \cdot a_{2,1}=-9 Sustituimos todos estos resultados en la expresión de la matriz inversa, A^{-1}, obteniendo:

A^{-1}=\dfrac {\left(\begin{matrix} 3 & -3 \\ -4 & 1 \end{matrix}\right)}{-9}=\left(\begin{matrix} -1/3 & 1/3 \\ 4/9 & -1/9 \end{matrix}\right)

La matriz solución es entonces:

X=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=A^{-1} \cdot B=\left(\begin{matrix} -1/3 & 1/3 \\ 4/9 & -1/9 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}3 \\ 14 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}11/3 \\ -2/9 \end{array} \right)

Solución final:

\fbox{x=11/3 ; y=-2/9}

 

 

Resuelve:  \begin{cases} 3x+2y=1\\ 2x-3y=5 \end{cases}


Escribimos en forma matricial el sistema lineal del enunciado:

\left(\begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}1 \\ 5 \end{array} \right)

Necesitamos el determinante y la matriz transpuesta de la adjunta de A Matriz adjunta:  A^{adj}=\left(\begin{matrix} -3 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix}\right) Transpuesta de la adjunta:  (A^{adj})^T=\left(\begin{matrix} -3 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix}\right) Determinante de la matriz:  |A|=\left|\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{matrix}\right|=-9-4=-13 Entonces:

A^{-1}=\dfrac {\left(\begin{matrix} -3 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix}\right)}{-13}=\left(\begin{matrix} 3/13 & 2/13 \\ 2/13 & -3/13 \end{matrix}\right)

Finalmente:

X=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=A^{-1} \cdot B=\left(\begin{matrix} 3/13 & 2/13 \\ 2/13 & -3/13 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}1 \\ 5 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}9/13 \\ -1 \end{array} \right)

\fbox{x=9/13 ; y=-1}

Resuelve:  \begin{cases} x+3y=5\\ 2x-y=3 \end{cases}

Resuelve:  \begin{cases} x+3y=5\\ 2x-y=3 \end{cases}

El sistema lineal lo expresamos en notación matricial:

\left(\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}5 \\ 3 \end{array} \right)

A continuación obtenemos la matriz adjunta de A y seguidamente su transpuesta:

Adjunta de Aadj(A)=\left(\begin{matrix} -1 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix}\right)

Transpuesta de la adjunta de A(adj(A))^T=\left(\begin{matrix} -1 & -3 \\ -2 & 1 \end{matrix}\right)

Ahora operamos para tener el determinante de A:

Determinante de A|A|=\left|\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{matrix}\right|=-1-6=-7

Entonces, juntando todo lo conseguido hasta ahora:

A^{-1}=\dfrac {\left(\begin{matrix} -1 & -3 \\ -2 & 1 \end{matrix}\right)}{-7}=\left(\begin{matrix} 1/7 & 3/7 \\ 2/7 & -1/7 \end{matrix}\right)

Estamos ya terminando. Recordando que X=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=A^{-1} \cdot B, podemos escribir que:

X=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=A^{-1} \cdot B=\left(\begin{matrix} 1/7 & 3/7 \\ 2/7 & -1/7 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}5 \\ 3 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}2 \\ 1 \end{array} \right)

Es decir:

\fbox{x=2;y=1}

Vídeos de ecuaciones usando matrices. Ecuaciones matriciales

 

Chicos y chicas, una idea muy buena para entender cómo pueden resolverse ecuaciones usando métodos matriciales es ver a buen profesor haciendo uno de estos ejercicios en un vídeo. Te propongo visualizar la siguiente colección de ejercicios de matrices y cómo no, de ecuaciones matriciales. ¡Espero que te sirva de ayuda!.

Sistema de ecuaciones lineales 2x2 usando matrices

 

Ejemplo de cómo reescribir un sistema de ecuaciones en forma matricial, y cómo, paso a paso, conseguimos calcular las incógnitas mediante operaciones con matrices.

 

 

Cómo hallar una matriz inversa en menos de 20 segundos

 

Aquí te muestro cómo puedes calcular la inversa de una matriz 2x2 en menos de 20 segundos. El truco está es ser ágil aplicando una fórmula o expresión, que por cierto no es muy complicada de recordar.