El Teorema de Pitágoras

 

Autor: Juan Pascual Redondo

El Teorema de Pitágoras es una ecuación cuadrática que relacciona los lados de un triángulo rectángulo (triángulo que tiene un ángulo de 90º). Está dada por la expresión a^2=b^2+c^2 en donde a es el lado más largo, llamado hipotenusa y bc son los catetos, los otros dos lados del triángulo.

 

El Teorema puede ser escrito de una forma más manejable si lo que queremos es calcular la longitud de cada uno de los lados del triángulo rectángulo:

  • a=\sqrt{b^2 +c^2}
  • b=\sqrt{a^2 -c^2}
  • c=\sqrt{a^2 -b^2}

 

Recibe este nombre en honor a Pitágoras, filósofo natural de Grecia que vivió en el S. IV a. C. Tanto él como su escuela, Escuela Pitagórica, estudiaron en detalle los triángulos rectángulos.

 

Historia del Teorema de Pitágoras

 

Es bastante probable que el teorema más famoso de todos los tiempos no sea original de Pitágoras. Seguramente la autoría se deba a

Una imagen de la famosa tablilla Plimpton 322

los babilonios, los cuales estuvieron también centrados en la resolución de triángulos con unos de sus ángulos de 90º mil años antes de que naciera el célebre filósofo de Samos.

A principios del S. XX, el anticuario-saqueador estadounidense Edgar Banks (1866-1945) , personaje real sobre el que se ha construido al cinematográfico Indiana Jones se hace con una interesante tablilla sumeria que años después vendería a un coleccionista demanuscritos históricos llamado George Arthur Plimpton (1855-1936)

Esta tablilla, a la que se la bautizó como Tablilla Plimpton 322 estaba formada por números dispuestos en quince filas y cuatro columnas y escritas no en nuestra numeración decimal actual, sino en la típica notación babilonia sexagesimal.

El significado de las cifras que aparecen parece ser que es el de ternas pitagóricas, es decir, tripletes de números que satisfacen el Teorema de Pitágoras, solo que escritas dos mil años antes que la escuela pitagórica viera la luz.

 

Demostración del Teorema de Pitágoras

 

Son muchas las demostraciones que se han hecho de este Teorema. Yo aquí te voy a mostrar un ejemplo del demostración sencilla del Teorema de Pitágoras.

Partimos de la representación geométrica de un triángulo rectángulo:

triángulo rectángulo

Queremos demostrar que es cierta la siguiente igualdad: b^2+c^2=a^2.

 

Para ello vamos a servirnos de la siguiente figura, consistente en dos cuadrados, uno dentro de otro. Como vemos, el cuadrado mayor tiene lados de valor b+c y el menor a.

Dos cuadrados, uno dentro de otro

 

A la vista de las dos figuras anteriores, podemos hacer las siguientes afirmaciones:

  • El área del cuadrado grande está dada por A_{grande}=\left(b+c\right)^2
  • El área del cuadrado pequeño es A_{pequeña}=a^2
  • El área de cada triángulo rectángulo de lados a, b y c: A_{triángulo}=\dfrac{1}{2}\cdot c \cdot b

 

No es difícil darse cuenta de que el área del cuadrado grande de lado (b+c) tiene que ser igual a la suma del área de los cuatro triángulos rectángulos más el área del cuadrado de lado a

 

Podemos expresar matemáticamente esto de la siguiente manera:

 

A_{grande}=A_{pequeña}+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot c \cdot b

 

Simplificando y expresando el área del cuadrado grande en función de sus lados llegamos a lo siguiente:

 

\left(b+c\right)^2=a^2+2\cdot c \cdot b

 

Damos un paso más, desarrollando el producto perfecto:

 

b^2+2bc+c^2=a^2+2\cdot c \cdot b

 

Simplicando ¡y terminando ya! hemos llegado a nuestro ansiado teorema. Aquí está:

 

b^2+c^2=a^2

 

Demostración terminada

 

 

 

 

Vídeos del Teorema de Pitágoras

 

A continuación de ofrezco una colección de vídeos en donde este famoso teorema es el protagonista en donde paso a paso resuelvo la mayoría de los problemas más típicos sobre el tema, desde los clásicos de hallar un lado dados los otros dos hasta los más sofisticados, en donde aparecen dos triángulos rectángulos, uno dentro de otro y es necesario la intervención de las funciones trigonométricas.

Cómo calcular la hipotenusa de triángulo rectángulo dados los catetos

 

Aquí tienes la resolución del clásico caso de un triángulo rectángulo en donde, conocidos los catetos, hay que hallar la hipotenusa. Se aplica directamente la expresión del Teorema de Pitágoras, se despeja la incógnita y listo.

 

Teorema de Pitágotas con raíces. Hallar los catetos

 

En el vídeo se intenta calcular la hipotenusa, pero en esta ocasión tenemos unos lados que a veces dan problemas: son lados con raíces.

 

Teorema de Pitágoras con dos raíces. No se conoce la hipotenusa

 

No conocemos la hipotenusa de un triángulo rectángulos y nos dan la distancia de los otros dos lados, pero dicha distancia de los catetos está dada en forma de raíz.

 

 

 

Conseguir la hipotenusa dados los catetos, los cuales son fracciones

 

Otro caso muy parecido a los dos precedentes. Esta vez tiene la característica de que la longitud de los catetos está dada en fracciones, lo cual, en ocasiones, da problemas ya que necesitamos operar con potencias. Aquí te dejo un buen ejemplo del teorema de Pitágoras con fracciones.

 

 

Hallar la longitud del cateto de un triángulo rectángulo sabiendo la hipotenusa y el otro cateto

 

En este caso, al sustituir los datos en el Teorema de Pitágoras nos vemos obligados a despejar, así que hay que poner especial atención  a los signos.

 

 

Hallar el área de un triángulo rectángulo si tenemos un cateto y la hipotenusa

 

Nos dan dos lados de un triángulo rectángulo: la hipotenusa y un cateto. Con ello tenemos que calcular el área del triángulo y también el cateto desconocido.

 

 

Cómo calcular los catetos, de la misma longitud, conociendo solamente la hipotenusa

 

Un interesante problema es este en donde aparentemente nos faltaría conocer también el otro cateto. Resulta que como ambos catetos miden los mismo su resolución no guarda ningún secreto.

 

Calcular la hipotenusa y los catetos. Conocemos el área y la relación entre los catetos

 

En este caso disponemos de la relación entre los catetos: uno es cuatro unidades mayor que el otro. También conocemos el área. Con esta información tenemos que ser capaces de dar con la longitud de todos los lados.

 

 

Conociendo el área y el valor de la hipotenusa, buscamos cuánto valen los dos catetos

 

A través del área del triángulo rectángulo y también de saber cuánto mide el lado mayor, llegaremos a obtener la longitud de ambos catetos.

 

Calcular el cateto opuesto conociendo el adyacente y el ángulo

 

Este es un caso en el que es necesario usar las razones trigonométricas. Tenemos el angulo y el valor de la longitud del lado adyacente. Además de encontrar el valor del lado que nos piden también calculamos lo que vale la hipotenusa.

 

Hallar la altura del triángulo equilátero conociendo un lado

 

Problema clásico en donde dado un triángulo equilátero, es decir, el que tiene sus tres lados iguales, queremos obtener la altura. El truco está en darse cuenta que la altura divide en dos partes iguales al triángulo, formando dos triángulos rectángulos. Sobre uno de ellos se aplicará el Teorema de Pitágoras

Queremos los tres lados y sólo conocemos relaciones entre ellos

 

Ejercicio muy interesante en donde sólo disponemos de relaciones entre los catetos y la hipotenusa. En concreto lo que sabemos es que cada uno de los lados mide lo siguiente: x+5, x+6 y x+7 (consideramos que las longitudes están expresadas simplemente en unidades matemáticas.

Demostración del Teorema de Pitágoras

 

A continuación, mediante una serie de pasos sencillos, vas a ver cómo se puede demostrar el Teorema de Pitágoras. Hay otros muchos modos de llegar al mismo resultado. El que te propongo es mi favorito.

Tres ejercicios. Teorema de Pitágoras

 

Tres ejercicios sencillo de aplicación de nuestro querido teorema. Se trata de hallar la hipotenusa, conociendo los dos catetos, hallar un cateto conociendo el otro y la hipotenusa y hallar la hipotenusa si conocemos dos catetos iguales.