Ecuaciones trigonométricas

 

Una ecuación trigonométrica es aquella en la que una o más incógnitas forman parte del argumento de una función trigonométrica. Dos ejemplos de esto pueden ser:

cosx=\dfrac{1}{2}

senx=cos(x+30^o)

En este tipo de ecuaciones las soluciones son √°ngulos y pueden ser expresados en grados o en radianes. Las soluciones, en caso de que existan, ser√°n infinitas y m√ļltiplos de 360 grados.

 

Contenidos

Fórmulas trigonométricas

 

Para poder resolver ecuaciones trigonométricas necesitamos conocer las llamadas fórmulas trigonométricas que son una serie de identidades formadas por funciones que permiten expresar unas funciones por otras más convenientes a la hora de resolver una ecuación. Aquí están las que debes de conocer perfectamente:

 

Fórmulas fundamentales de la trigonometría

 

◊ Identidades básicas

 

Son tres y todas equivalentes. Se relacionan entre sí mediante la igualdad \dfrac{sen^2x}{cos^2x}=1

 

    • sen^2x+cos^2x=1

 

    • tg^2x+1=\dfrac{1}{cos^2x}

 

    • cotg^2x+1=\dfrac{1}{sen^2x}

 

 

◊ Expresiones del ángulo suma

 

También son tres, una para el seno, otra para el coseno y otra para la tangente:

 

    • sen(x+y)=senx \cdot cosy+cosx \cdot seny

 

    • cos(x+y)=cosx \cdot cosy-senx \cdot seny

 

    • tg(x+y)=\dfrac{tgx+tgy}{1-tgx \cdot tgy}

 

 

◊ Expresiones del ángulo diferencia

 

Lo mismo que antes pero ahora los √°ngulos del argumento se restan:

 

    • sen(x-y)=senx \cdot cosy-cosx \cdot seny

 

    • cos(x-y)=cosx \cdot cosy+senx \cdot seny

 

    • tg(x-y)=\dfrac{tgx-tgy}{1+tgx \cdot tgy}

 

 

◊ Expresiones del ángulo doble

 

Para el seno, el coseno y la tangente se tiene que:

    • sen(2x)=2 \cdot senx \cdot cosy

 

    • cos(2x)=cos^2x - sen^2y

 

    • tg(2x)=\dfrac{2tgx}{1-tg^2x}

 

Vídeos de ecuaciones trigonométricas

 

A continuación te ofrezco una serie de vídeos sobre ecuaciones en las que aparecen funciones trigonométricas, además de otro tipo de ejercicios relacionados con el tema.

Significado de las funciones seno, coseno y tangente

 

Una ecuación trigonométrica con el seno

 

Ecuación trigonométrica con la función seno

 

 

Cómo se demuestra una identidad trigonométrica

 

Demostración de igualdades trigonométricas

 

Igualdad trigonométrica con relaciones de ángulo doble

 

Demostración de igualdades trigonométricas básicas

 

Problemas de resolución de triángulos rectángulos aplicando las funciones trigonométricas. Vídeos

 

Aquí tienes una serie de ejercicios resueltos en formato vídeo también, en donde se resuelven diversas situaciones con triángulos rectángulos, siendo necesario el uso de ecuaciones trigonométricas para el seno, el coseno y la tangente.

Calcular el cateto contiguo o adyacente y la hipotenusa conociendo un √°ngulo y un cateto

Razones trigonométricas. Aplicación con dos triángulos

Problemas de trigonometría con dos triángulos rectángulos

Seno, coseno y tangente. Ejercicios de tri√°ngulos rect√°ngulos

Cómo calcular los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo la hipotenusa y un ángulo

Cómo calcular el valor del cateto opuesto conociendo el cateto adyacente y el ángulo

Problemas de trigonometría con dos triángulos rectángulos dados dos ángulos

Ecuaciones trigonométricas resueltas

 

A continuación te proporcionamos una colección de ecuaciones trigonométricas resueltas con detalle y ordenadas en dificultad creciente.

 

Ejercicios resuelto tipo sen(x)=a


 

Resuelve: sen(x)=1/2

Solución

Para la funci√≥n seno se cumple sen(x)=sen(180^o-x). Esto quiere decir que vamos a tener dos soluciones para cada 360¬ļ.

Dicho lo anterior, despejamos x, sabiendo que la inversa de la función sen(x) es arcoseno(x):

x=arcseno\left(\dfrac{1}{2}\right)

Una calculadora puede ser usada para resolver directamente el valor de x sin ning√ļn problema, aunque lo mejor es que para este caso especial lo tuvieras memorizado.¬†

a) Para una vuelta, las dos soluciones son éstas:

x_1=30^o

x_2=180^o - 30^o=150^o

b) Solución general, la que incluye todas las soluciones para k vueltas es:

x_1=30^o + 360 \cdot k

x_2=150^o + 360 \cdot k

 

Resuelve: sen(x)=\sqrt{3}/2

Solución

Hay que recordar que sen(x)=sen(180^o-x). Ello quiere decir que la ecuación será satisfecha tanto para x como para 180^o-x. Dicho esto simplemente despejamos x, sabiendo que la inversa de la función sen(x) es arcoseno(x)

x=arcseno\left(\dfrac{\sqrt {3}}{2}\right)

a) Las dos soluciones para una vuelta, 360^o

Solución uno: x_1=60^o

Solución dos: x_2=180^o - 60^o=120^o

b) Solución general para k vueltas

Solución uno: x_1=60^o + 360 \cdot k

Solución dos: x_2=120^o + 360 \cdot k

Exponenciales en sen(x) y cos(x)


 

Resuelve: sen^2(x)-cos^2(x)=1/2

Solución

Aplicamos a la ecuación la identidad trigonométrica sen2x+cos^2x=1. En este caso:

(1-cos^2x)-cos^2x=\dfrac{1}{2}

Operando:

2sen^2x-1=\dfrac{1}{2}

sen^2x=\dfrac{3}{4}

senx=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{4}

Vamos a tener pues dos soluciones:

x_1=arcsen\dfrac{\sqrt{3}}{4}, que se cumple para 60^o+360^o \cdot n y 120^o+360^o \cdot n

x_2=arcsen\dfrac{\sqrt{-3}}{4}, cumpliéndose para 240^o+360^o \cdot n y para 300^o+360^o \cdot n

Ejercicio resuelto tipo cos(x)=a


 

Resuelve: 5cos(x)+7=3

Solución

Despejamos cos(x) en la ecuación:

cos(x)=-\dfrac {4}{5}

Usando la inversa de la función coseno obtenemos directamente el valor de x:

x=arccos \left (- \dfrac {4}{5} \right)

Hay que recordar que cos(x)=cos(360^o-x), por lo que tendremos dos soluciones, una dada por x y otra por 360^o-x. Entonces:

x_1=143^o

x_2=360^o-143^o=217^o

La expresión general de todas las soluciones posibles está dada por:

x_1(k)=143^o+k \cdot 360^o

x_2(k)=217^o+k \cdot 360^o

 

 

 

Ejercicio tipo tg(x)=a


 

Resolver: 7 \cdot tg(x)=2 \sqrt 3+tgx

Solución

Vamos a considerar sólo las soluciones dentro del intervalo 0^o \leq x<360^o. Empezamos agrupando los términos que contienen tg(x)

7 \cdot tg(x)-tg(x)=2\sqrt 3+tgx

6 \cdot tg(x)=2\sqrt3

tg(x)=\dfrac{\sqrt3}{3}

Como tg(x) es positivo, ello quiere decir que x es un √°ngulo que est√° en el primer o en el tercer cuadrante. Tenemos pues dos soluciones:

x_1=30^o, para el primer cuadrante.

x_2=180^o+x_1=210^o, para el segundo cuadrante.

Término cuadrático en cos(x)


 

Resuelve: cos^2(x)+2 \cdot sen(x)=2

Solución

En la expresión aparecen senos y cosenos. Podemos expresar el coseno que aparece en función del seno mediante la fórmula cos^2(x)+sen^2(x)=1. Entonces:

(1-sen^2(x)+2 \cdot sen(x)=2, o lo que es lo mismo:

sen^2(x)-2 \cdot sen(x)+1=0

Esta igualdad es una ecuación de segundo grado equivalente a t^2-2 \cdot t+1=0 con sen(x) \equiv t, que resolviendo obtenemos:

t = \dfrac{2 \pm \sqrt {2^2 - 4}}{2}

t=1, es decir:

sen(x)=1

La solución general para esta ecuación es inmediata:

x= \dfrac{ŌÄ}{2}+2ŌÄk, con k‚ąąZ

Imágenes y fotos de ecuaciones trigonométricas

 

A continuación te facilitamos una colección de fotografías e imágenes de ecuaciones bicuadradas. Se trata de una serie ejercicios resueltos con detalle unas veces y otras ejercicios propuestos, casi siempre con solución.